Гидравлика. Конспект лекций



         

Дифференциальные уравнения неразрывности движения жидкости


Уравнения, рассмотренные выше, представлены в интегральной форме и не учитывают всех условий движения потока жидкости.

Рассмотрим то же самое движение жидкости, опираясь на важнейший закон механики - закон сохранения массы.

Рассмотрим движение со скоростью u некоторого произвольного объёма W плотностью ?ср.  Масса этого объёма равна M = ?срW. Условием сплошности (неразрывности) является:

т.е. масса объёма W не меняется во времени. Однако неизменность массы не означает, что составляющие, определяющие массу тоже должны быть постоянны. Причём, в общем случае изменяются во времени как объём W, так и плотность жидкости ?. Тогда можно записать:

Первое слагаемое в этом уравнении 

 описывает изменение массы за счёт изменения плотности при постоянном объёме, а второе слагаемое
 описывает изменение массы за счёт  изменения объёма при постоянной плотности.

Учитывая то, что

  и
, подставим эти значения в последнее уравнение и преобразуем его к виду:

Разделим это уравнение на M, приведя его тем самым к уравнению для единичной массы:

.

Первое слагаемое показывает изменение плотности во времени, т.е. в процессе движения (по мере перемещения) жидкости. Второе слагаемое – изменение объёма в процессе движения.

Рассмотрим подробно второе слагаемое. Для этого возьмём некоторую

произвольную точку А с координатами X,Y,Z. Через неё (и вблизи неё) в момент времени t течёт жидкость со скоростью u. В проекции на оси координат в точке А жидкость имеет скорости ux, uy, uz, соответственно. Выделим вокруг точки А бесконечно малый объём в форме параллелепипеда с размерами dx, dy, dz. Будем считать этот объём неподвижным, а жидкость -  протекающей через него. Определим величину объёма жидкости, которая поступает в рассматриваемый объём и вытекает из него за время dt.

В проекции на ось X в точке А горизонтальная составляющая скорости равна ux. В точке А2 (расположенной на грани dy – dz), находящейся на расстоянии

 от A, горизонтальная составляющая будет:

В точке А1 (расположенной на другой грани dy – dz) горизонтальная составляющая этой скорости будет равна:




Содержание  Назад  Вперед