Гидравлика. Конспект лекций



         

Дифференциальные уравнения неразрывности движения жидкости - часть 2


В проекции на ось Y в точке А составляющая скорости будет равна  uy. В точке, расположенной в центре грани dx – dz, находящейся на расстоянии 

 от A эта составляющая  скорости будет:

В точке, расположенной в центре противоположной  грани dx – dz и находящейся на расстоянии 

 от A, эта составляющая  скорости будет:

Аналогично в проекции на ось Z в точке А составляющая скорости будет равна  uz. В точке, расположенной в центре грани dx – dy и находящейся на расстоянии 

 от A, эта составляющая  скорости примет вид:

В точке, расположенной в центре противоположной грани dx – dy, и находящейся на расстоянии 

 от составляющая  скорости будет:

В последних выражениях частные производные

 показывают изменение  величин  ux, uy и  uz соответственно, приходящиеся на единицу длины, измеренную вдоль оси, проходящей через точку А и параллельно соответствующим координатным осям.

Объёмы жидкости W…(вых), вытекющей через соответствующие грани dy – dz, dx – dz, dx – dy, будут равны произведениям соответствующих проекций скоростей на площади граней:

Аналогично объёмы жидкости W…(вх), входящей через соответствующие грани dy – dz,  dx – dzdx – dy  будут равны проекциям соответствующих скоростей на такие же по размерам площади граней:

Легко видеть, что изменение объёмов dW… жидкости, проходящей через противолежащие грани за время dt, будут соответственно равны:

Остальные два выражения запишем по аналогии без подробного вывода.

Полный объём жидкости, протекающей за время dt через выбранный произвольным образом неподвижный элементарный объём пространства dx, dy, dz, будет равен сумме объёмов жидкости, протекающей через все три пары противолежащих граней

Подставив в последнее выражение значения соответствующих объёмов

, получим:

.

В этом выражении произведение dxdydz ни что иное, как весь объём жидкости W, протекающей через рассматриваемый параллелепипед за время dt. Таким образом, подставив эту формулу в  исходное выражение

 (второе слагаемое – учитывающее изменение объёма в законе сохранения массы), анализом которого мы занимаемся,  получим:




Содержание  Назад  Вперед